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高中数学 对数 教案

时间:2022-12-03 11:05:17 作者:美篇推荐 字数:5454字

(第二课时)

一.教学目标

1.掌握已知一角的正切值,求角的方法.

2.掌握给定区间内,用反三角函数表示一个角的方法.

二.教学具准备

投影仪

三.教学过程

1.设置情境

师:请同学们看投影,回答问题

(1)若 , ,则 .

(2)若 , 则 .

生:(1) 或 .

(2) 或 .

师:回答正确.请同学结合上面两个小题的求解过程,总结一下已知三角函数值求角的一般步骤:

生:从上面两个小题的求解过程看,有三个步骤:

第一步,决定角 可能是第几象限角.

第二步,如果函数值为正数,则先求出对应的锐角 ;如果函数值为负数,则先求了与其绝对值对应的锐角 ;

第三步,如果函数值为负数,则根据角 可能是第几象限角,得出 内对应的角—如果它是第二象限角,那么可表示为 ,如果它是第三或第四象限角,那么可表示为 或 .

师:总结得很好,本节课我们继续学习用反正切表示角的方法,先请同学看问题(投影仪):

2.探索研究(此部分可由学生仿照正弦、余弦分析解决)

【例1】(1)已知 ,且 ,求 (精确到 ).

(2)已知 ,且 ,求 的取值集合.

解:(1)由正切函数在开区间 上是增函数和 可知,符合条件的角有且只有一个,利用计算器可得 (或 ).

(2)由正切函数的周期性,可知 时, ,所以所求的 的集合是 .

下面讨论反正切概念,请看 图形(图1)(投影仪):

观察正切函数的图像的性质,为了使符合条件 ( 为任意实数)的角 有且只有一个,我们选择开区间 作基本的范围,在这个开区间内,符合条件 ( 为任意实数)的角 ,叫做实数 反正切,记作 ,即 ,其中 ,且 ,那么,此例第(2)小题的答案可以写成 .

表示的意义: 表示一个角,角的特点是①角的正切值为x,因此角的大小受x的限制;②并不是所有满足 的角都可以,只能是 范围内满足 的角;③由于x为角的正切值,所以x的值可为全体实数.

【例2】(1)已知 ,且 ,求 .

(2)已知 ,且 ,求 的取值集合.

解:(1)因为 ,所以 .由正切函数在开区间 上是增函数可知符合条件的角有且只有一个,所以 .

(2)由正切函数的周期性,可知当 时, .

∴所求 的取值集合是 .

参考例题(供层次高的学生使用):

1.求值 .

解:根据诱导公式 ,且 ,

∴ .

评法:由于反正弦 表示 内的一个角,而 ,所以应先用诱导公式将其转化为区间 内的角,再进行计算.

2.求 的值.

解:∵ 、 表示 中的角

∴令 ,则 ,

,则

又∵ 和 均为锐角

3.演练反馈(投影)

(1)满足 的 的集合是(     )

A. B.

C. D.

(2)已知 是第二象限角,是 ,则 .

(3)已知 , ,且 为第三象限角, 为第四象限角,求 、 .

参考答案:

(1)D  (2) , .

(3)

∵ 为第三象限角, 为第四象限角.

∴ , ,

4.总结提炼

(1)由反正切定义知: , ,

(2)已知: , ,用 表示

范围

位置及大小

四.板书设计

课题

例1

例2

反正切

概念

演练反馈

总结提炼