简单的线性规划（二）
线性规划教学设计方案（二）
教学目标
巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．
重点难点
理解二元一次不等式表示平面区域是 教学重点 ．
如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是 教学难点 ．
教学步骤
【新课引入】
我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的 学习 中，我们可以逐步看到它的运用．
【线性规划】
先讨论下面的问题
设 ，式中变量 x、y 满足下列条件
①
求 z 的最大值和最小值．
我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中 内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当 时， ，点（0，0）在直线 上．
作一组和 平等的直线
可知，当 l 在 的右上方时，直线 l 上的点 满足 ．
即 ，而且 l 往右平移时， t 随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于 l 的直线中，以经过点 A （5，2）的直线 l ，所对应的 t 最大，以经过点 的直线 ，所对应的 t 最小，所以
在上述问题中，不等式组①是一组对变量 x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式，所以又称线性约束条件．
是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式，叫做目标函数，由于 又是 x、y 的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数 在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．
线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．
【应用举例】
例1 解下列线性规划问题：求 的最大值和最小值，使式中的 x、y 满足约束条件
解：先作出可行域，见图中 表示的区域，且求得 ．
作出直线 ，再将直线 平移，当 的平行线 过 B 点时，可使 达到最小值，当 的平行线 过 C 点时，可使 达到最大值．
通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：
第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；
第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．
例2 解线性规划问题：求 的最大值，使式中的 x、y 满足约束条件．
解：作出可行域，见图，五边形 OABCD 表示的平面区域．
作出直线 将它平移至点 B ，显然，点 B 的坐标是可行域中的最优解，它使 达到最大值，解方程组 得点 B 的坐标为（9，2）．
∴
这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为 ，约束条件不变，则 z 的最大值在点 C （3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数 所确定的直线 的斜率 有关．就这个例子而言，当 的斜率为负数时，即 时，若 （直线 的斜率）时，线段 BC 上所有点都是使 z 取得最大值（如本例）；当 时，点 C 处使 z 取得最大值（比如： 时），若 ，可请同学思考．
随堂练习
1．求 的最小值，使式中的 满足约束条件
2．求 的最大值，使式中 满足约束条件
答案：1． 时， ．
2． 时， ．
总结提炼
1．线性规划的概念．
2．线性规划的问题解法．
布置作业
1．求 的最大值，使式中的 满足条件
2．求 的最小值，使 满足下列条件
答案：1．
2．在可行域内整点中，点（5，2）使 z 最小，
探究活动
利润的线性规划
［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．
建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为 （0，5），1998年的利润为 7万元及1999年的利润为 8万元分别对应点 （1，7）和 （2，8），那么
①若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为13万元．
②若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11万元．
③若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10万元．
④若将过 及线段 的中点 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元．
⑤若将过 及 的重心 （注： 为3年的年平均利润）的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元．
⑥若将过 及 的重心 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10．667万元．
⑦若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为9万元．
⑧若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为11.5万元.
⑨若将过点 且以线段 的斜率 为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线 的方程为； ，这样预测2001年的利润为12万元．
⑩若将过 且以线段 的斜率 与线段 的斜率 的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为12万元．
如此这样，还有其他方案，在此不?一列举．
［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？
（2）第⑦种方案中， 的现实意义是什么？
（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过 的重心 ，找出以 为斜率的直线中与 两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．
（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？