第三册一元二次方程根与系数关系

一、素质教育目标 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

（一）知识教学点： 1 ．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义； 2 ．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．

（二）能力训练点： 1 ．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力； 2 ．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．

（三）德育渗透点：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．

二、教学重点、难点

1 ．教学重点：一元二次方程的意义及一般形式．

2 ．教学难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”．

三、教学步骤

（一）明确目标

1 ．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力．

2 ．现有一块长 80cm ，宽 60cm 的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为 1500cm ² 的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？

教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程 x ² -70x+825=0 ，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题．

板书：“第十二章一元二次方程”．教师恰当的语言，激发学生的求知欲和学习兴趣．

（二）整体感知

通过章前引例和节前引例，使学生真正认识到知识来源于实际，并且又为实际服务，学习了一元二次方程的知识，可以解决许多实际问题，真正体会学习数学的意义；产生用数学的意识，调动学生积极主动参与数学活动中．同时让学生感到一元二次方程的解法在本章中处于非常重要的地位．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1 ．复习提问

（ 1 ）什么叫做方程？曾学过哪些方程？

（ 2 ）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？

（ 3 ）什么叫做分式方程？

问题的提出及解决，为深刻理解一元二次方程的概念做好铺垫．

2 ．引例：剪一块面积为 150cm ² 的长方形铁片使它的长比宽多 5cm ，这块铁片应怎样剪？

引导，启发学生设未知数列方程，并整理得方程 x ² +5x-150=0 ，此方程和章前引例所得到的方程 x ² ＋ 70x ＋ 825 ＝ 0 加以观察、比较，得到整式方程和一元二次方程的概念．

整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程称为整式方程．

一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 ，这样的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定义的．一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一个未知数”，“二次”指的是“未知数的最高次数是 2 ”．“元”和“次”的概念搞清楚则给定义一元三次方程等打下基础．一元二次方程的定义是指方程进行合并同类项整理后而言的．这实际上是给出要判定方程是一元二次方程的步骤：首先要进行合并同类项整理，再按定义进行判断．

3 ．练习：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

（ 1 ） x （ 5x-2 ）＝ x （ x ＋ 1 ）＋ 4x ² ；

（ 2 ） 7x ² ＋ 6 ＝ 2x （ 3x ＋ 1 ）；

（ 3） <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />

（ 4 ） 6x ² ＝ x ；

（ 5 ） 2x ² ＝ 5y ；

（ 6 ） -x ² ＝ 0

4 ．任何一个一元二次方程都可以化为一个固定的形式，这个形式就是一元二次方程的一般形式．

一元二次方程的一般形式： ax ² ＋ bx ＋ c ＝ 0 （ a ≠ 0 ）． ax ² 称二次项， bx 称一次项， c 称常数项， a 称二次项系数， b 称一次项系数．

一般式中的“ a ≠ 0 ”为什么？如果 a ＝ 0 ，则 ax ² +bx+c ＝ 0 就不是一元二次方程，由此加深对一元二次方程的概念的理解．

5 ．例 1 把方程 3x （ x-1 ）＝ 2 （ x ＋ 1 ）＋ 8 化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数及常数项？

教师边提问边引导，板书并规范步骤，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式．

6 ．练习 1 ：教材 P ． 5 中 1 ， 2 ．要求多数学生在练习本上笔答，部分学生板书，师生评价．题目答案不唯一，最好二次项系数化为正数．

练习 2 ：下列关于 x 的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项．

8mx-2m-1 ＝ 0 ；（ 4 ）（ b ² ＋ 1 ） x ² -bx ＋ b ＝ 2 ；（ 5 ） 2tx （ x-5 ）＝ 7-4tx ．

教师提问及恰当的引导，对学生回答给出评价，通过此组练习，加强对概念的理解和深化．

（四）总结、扩展

引导学生从下面三方面进行小结．从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？

1 ．将实际问题用设未知数列方程转化为数学问题，体会知识来源于实际以及转化为方程的思想方法．

2 ．整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次项系数、一次项系数及常数项．归纳所学过的整式方程．

3 ．一元二次方程的意义与一般形式 ax ² ＋ bx ＋ c ＝ 0 （ a ≠ 0 ）的区别和联系．强调“ a ≠ 0 ”这个条件有长远的重要意义．

四、布置作业

1 ．教材 P ． 6 练习2 ．

2 ．思考题：

1 ）能不能说“关于 x 的整式方程中，含有 x ² 项的方程叫做一元二次方程？”

2 ）试说出一元三次方程，一元四次方程的定义及一般形式（学有余力的学生思考）．

五、板书设计