完全平方公式
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是完全平方公式的熟记及应用.难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解).完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。
1.两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.即:
这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的.
这两个公式的结构特征是:左边是两个相同的二项式相乘,右边是三项式,是左边二中两项的平方和,加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍;公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数),也可以表示单项式或多项式等代数式.
2.只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式.
在运用公式时,有时需要进行适当的变形,例如 可先变形为 或 或者 ,再进行计算.
在运用公式时,防止发生 这样错误.
3.运用完全平方公式计算时,要注意:
(1)切勿把此公式与公式 混淆,而随意写成 .
(2)切勿把“乘积项” 中的2丢掉.
(3)计算时,要先观察题目特点是否符合公式的条件,若不符合,应先变形为符合公式的条件的形式,再利用公式进行计算,若不能变为符合公式条件的形式,则应运用乘法法则进行计算.
4. 与 都叫做完全平方公式.为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式.
三、教法建议
1.在公式的运用上,与平方差公式的运用一样,应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义,教科书把公式中的字母同具体题目中的数或式子,用“ ”连结起来,逐项比较、对照,步骤写得完整,便于学生理解如何正确地使用完全平方公式进行计算.
2.正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件.重要的是确定两数,然后再看是否两数的和(或差),最后按照公式写出两数和(或差)的平方的结果.
3.如何使学生记牢公式呢?我们注意了以下两点.
(1)既讲“法”,又讲“理”
在教学中要讲法则、公式的应用,也要讲公式的推导,使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆.我们引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明,也是对说理的重视.在“明白道理”这个前提下的记忆,即使学生将来发生错误也易于纠正.
(2)讲联系、讲对比、讲特点
对于类似的内容学生容易混淆,比如在本节出现的(a+b) 2 =a 2 +b 2 的错误,其原因是把完全平方公式和“旧”知识(ab) 2 =a 2 b 2 及分配律弄混,排除新旧知识间相互干扰的一种作法是向学生指明新知识的特点.所以讲“理”是要讲联系、讲对比、讲特点.
教学设计示例
一、教学目标
1.理解完全平方公式的意义,准确掌握两个公式的结构特征.
2.熟练运用公式进行计算.
3.通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力.
4.培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想.
5.渗透数学公式的结构美、和谐美.
二、学法引导
1.教学方法:尝试指导法、讲练结合法.
2.学生学法:本节学习了乘法公式中的完全平方,一个是两数和的平方,另一个是两数差的平方,两者仅一个“符号”不同.相乘的结果是两数的平方和,加上(或减去)两数的积的2倍,两者也仅差一个“符号”不同,运用完全平方公式计算时,要注意:
(1)切勿把此公式与公式 混淆,而随意写成 .
(2)切勿把“乘积项”2 ab 中的2丢掉.
(3)计算时,要先观察题目是否符合公式的条件.若不符合,应先变形为符合公式的条件的形式,再利用公式进行计算;若不能变为符合条件的形式,则应运用乘法法则进行计算.
三、重点?难点及解决办法
(一)重点
掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义,正确运用公式进行计算.
(二)难点
综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算.
(三)解决办法
加强对公式结构特征的深入理解,在反复练习中掌握公式的应用.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题,目的是辨认题目的结构特征.
2.引入完全平方公式,让学生用文字概括公式的内容,培养抽象的数字思维能力.
3.举例分析如何正确使用完全平方公式,师生共练完成本课时重点内容.
4.适时练习并总结,从实践到理论再回到实践,以指导今后的解题.
七、教学步骤
(一)明确目标
本节课重点学习完全平方公式及其应用.
(二)整体感知
掌握好完全平方公式的关键在于能正确识别符合公式特征的结构,同时还要注意公式中2 ab 中2的问题,在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律.
(三)教学过程
1.计算导入;求得公式
(1)叙述平方差公式的内容并用字母表示;
(2)用简便方法计算
①103×97
②103 × 103
(3)请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题,并算出结果.
学生活动:编题、解题,然后两至三个学生说出题目和结果.
要想用好公式,关键在于辨认题目的结构特征,正确使用公式,这节课我们继续学习“乘
法公式”.
引例:计算 ,
学生活动:计算 , ,两名学生板演,其他学生在练习本上完成,然后说出答案,得出公式.
或合并为:
教师引导学生用文字概括公式.
方法:由学生概括,教师给予肯定、否定或更正,同时板书.
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍.
【教法说明】
①复习平方差公式,主要是引起回忆,巩固公式;编题在于提高兴趣.
②有了平方差公式的推导过程,学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法,因此推导完全平方公式可以由计算直接得出.
2.结合图形,理解公式
根据图形完成下列问题:
如图: A 、B 两图均为正方形,
(1)图 A 中正方形的面积为____________,(用代数式表示)
图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。
(2)图 B 中,正方形的面积为____________________,
Ⅲ的面积为______________,
Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________,
用 B 、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。
分别得出结论:
学生活动:在教师引导下回答问题.
【教法说明】利用图形讲解,增强学生对公式的直观理解,以便更好地掌握公式,同时也培养学生数形结合的数学思想。
3.探索新知,讲授新课
(1)引例:计算
教师讲解:在 中,把 x 看成 a ,把2 y 看成 b ,在 中把2 x 看成 a ,把3 y 看成 b ,则 、 ,就可用完全平方公式来计算,即
【教法说明】 引例的目的在于使学生进一步理解公式的结构,为运用公式打好基础.
(2)例1 运用完全平方公式计算:
① ② ③
学生活动:学生独立在练习本上尝试解题,3个学生板演.
【教法说明】 让学生先模仿公式解题,学生可能会出现一些问题,这也正是学生对公式理解、应用和熟练程度上存在的需要解决的问题,反馈后要紧扣公式,重点讲解,达到解决问题的目的,关于例呈中(3)的计算,可对照公式直接计算,也可变形成 ,然后再进行计算,同时也可训练学生灵活运用学过的知识的能力.
4.尝试反馈,巩固知识
练习一
运用完全平方公式计算:
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) (9)
(l0)
学生活动:学生在练习本上完成,然后同学互评,教师抽看结果,练习中存在的共性问题要集中解决.
5.变式训练,培养能力
练习二
运用完全平方公式计算:
(l) (2) (3) (4)
学生活动:学生分组讨论,选代表解答.
练习三
(1)有甲、乙、丙、丁四名同学,共同计算,以下是他们的计算过程,请判断他们的计算是否正确,不正确的请指出错在哪里.
甲的计算过程是:原式
乙的计算过程是:原式
丙的计算过程是:原式
丁的计算过程是:原式
(2)想一想, 与 相等吗?为什么?
与 相等吗?为什么?
学生活动:观察、思考后,回答问题.
【教法说明】 练习二是一组数字计算题,使学生体会到公式的用途,也可以激发学生学习兴趣,调动学生的学习积极性,同时也起到加深理解公式的作用.练习三第(l)题实际是课本例4,此题是与平方差公式的综合运用,难度较大.通过给出解题步骤,让学生进行判断,使难度降低,学生易于理解,教师要注意引导学生分析这类题的结构特征,掌握解题方法.通过完成第(2)题使学生进一步理解 与 之间的相等关系,同时加深理解代数中“ a ”具有的广泛意义.
练习四
运用乘法公式计算:
(l) (2)
(3) (4)
学生活动:采取比赛的方式把学生分成四组,每组完成一题,看哪一组完成得快而且准确,每组各派一个学生板演本组题目.
【教法说明】 这样做的目的是训练学生的快速反应能力及综合运用知识的能力,同时也激发学生的学习兴趣,活跃课堂气氛.
(四)总结、扩展
这节课我们学习了乘法公式中的完全平方公式.
引导学生举例说明公式的结构特征,公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题.
八、布置作业
P133 1,2.(3)(4).
参考答案
略.