一元二次方程实数根错例剖析课 ?? 初中数学第四册教案

课题： 一元二次方程实数根错例剖析课 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

【教学目的】 精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。

【课前练习】

1、关于 x 的方程 ax ² +bx+c=0， 当 a_____ 时，方程为一元一次方程；当 a_____时， 方程为一元二次方程。

2、一元二次方程 ax ² +bx+c=0(a≠0) 的根的判别式△=_______，当△_______时，方程有两个相等的实数根，当△_______时，方程有两个不相等的实数根，当△________时，方程没有实数根。

【典型例题】

例 1 下列方程中两实数根之和为2的方程是（）

(A) x ² +2x+3＝0 (B) x ² -2x+3＝0 (c) x ² -2x-3＝0 (D) x ² +2x+3＝0

错答： B

正解： C

错因剖析：由根与系数的关系得 x ₁ +x ₂ ＝2 ，极易误选 B， 又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程 B 无实数根，方程 C 合适。

例 2 若关于 x 的方程 x ² +2(k+2)x+k ² ＝0 两个实数根之和大于-4，则 k 的取值范围是（ ）

(A) k＞-1 (B) k＜0 (c) -1＜ k＜0 (D) -1≤k＜0

错解 ： B

正解： D

错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△ ≥ 0

例 3（2000广西中考题） 已知关于 x 的一元二次方程( 1-2k)x ² -2 <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> x-1＝0 有两个不相等的实根，求 k 的取值范围。

错解 : 由△＝(-2 ) ² -4(1-2k)(-1) ＝-4 k +8 ＞0得 k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1 。即 k 的取值范

围是 -1≤k＜2

错因剖析：漏掉了二次项系数 1-2k≠0 这个前提。事实上，当 1-2k＝0 即 k＝ 时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。

正解： -1≤k＜2 且 k≠

例4 （2002山东太原中考题） 已知 x ₁ ， x ₂ 是关于 x 的一元二次方程 x ² +(2m+1)x+m ² +1＝0 的两个实数根，当 x ₁ ² +x ₂ ² =15时， 求 m 的值。

错解：由根与系数的关系得

x ₁ +x ₂ ＝ -（2m+1）, x ₁ x ₂ ＝ m ² +1,

∵ x ₁ ² +x ₂ ² ＝ (x ₁ +x ₂ ) ² -2 x ₁ x ₂

＝ [-（2m+1）] ² -2（m ² +1）

＝ 2 m ² +4 m-1

又∵ x ₁ ² +x ₂ ² = 15

∴ 2 m ² +4 m-1 = 15

∴ m ₁ ＝ -4 m ₂ ＝ 2

错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥ 0。因为当 m ＝ -4 时，方程为 x ² -7x+17＝0， 此时△ ＝（-7） ² -4×17×1＝ -19＜0， 方程无实数根，不符合题意。

正解： m ＝ 2

例 5 若关于 x 的方程 (m ² -1)x ² -2 (m+2)x+1＝0 有实数根，求 m 的取值范围。

错解：△＝ [-2(m+2)] ² -4(m ² -1) ＝ 16 m+20

∵ △≥ 0

∴ 16 m+20 ≥ 0，

∴ m ≥ -5/4

又 ∵ m ² -1≠0，

∴ m≠±1

∴ m 的取值范围是 m≠±1 且 m ≥ -

错因剖析 ：此题只说 (m ² -1)x ² -2 (m+2)x+1＝0 是关于未知数 x 的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑 m ² -1＝0和m ² -1≠0两种情况。当 m ² -1＝0时， 即 m＝±1 时 ， 方程变为一元一次方程，仍有实数根。

正解： m 的取值范围是 m ≥ -

例 6 已知二次方程 x ² +3 x+a＝0 有整数根， a 是非负数，求方程的整数根。

错解：∵方程有整数根，

∴△ ＝ 9-4a＞0， 则 a＜2.25

又∵ a 是非负数，∴ a＝1 或 a＝2

令 a＝1， 则 x＝ -3± ， 舍去 ； 令 a＝2， 则 x ₁ ＝ -1、 x ₂ ＝ -2

∴方程的整数根是 x ₁ ＝ -1， x ₂ ＝ -2

错因剖析 ：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当 a＝0 时，还可以求出方程的另两个整数根， x ₃ ＝0， x ₄ ＝ -3

正解： 方程的整数根是 x ₁ ＝ -1， x ₂ ＝ -2 ， x ₃ ＝0， x ₄ ＝ -3

【练习】

练习 1、（01济南中考题）已知关于 x 的方程 k ² x ² +(2k-1)x+1=0 有两个不相等的实数根 x ₁ 、x ₂ 。 （1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由。

解：（ 1）根据题意，得△＝ (2k-1) ² -4 k ² ＞0 解得 k＜

∴当 k＜ 时，方程有两个不相等的实数根。

（ 2）存在。如果方程的两实数根 x ₁ 、x ₂ 互为相反数，则 x ₁ + x ₂ = - =0，

解得 k ＝ 。经检验 k ＝ 是方程- 的解。

∴当 k ＝ 时，方程的两实数根 x ₁ 、x ₂ 互为相反数。

读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。

解：上面解法错在如下两个方面：

（ 1）漏掉 k≠0， 正确答案为：当 k＜ 时且 k≠0 时，方程有两个不相等的实数根。

（ 2） k ＝ 。不满足△＞0，正确答案为：不存在实数 k， 使方程的两实数根互为相反数

练习 2（02广州市）当 a 取什么值时，关于未知数 x 的方程 ax ² +4x-1 ＝0只有正实数根 ?

解：（ 1）当 a ＝0时，方程为4 x-1 ＝0，∴ x ＝

（ 2）当 a≠0 时，∵△＝16+4 a≥0 ∴ a≥ -4

∴当 a≥ -4 且 a≠0 时，方程有实数根。

又因为方程只有正实数根，设为 x ₁ ，x ₂ ， 则：

x ₁ +x ₂ ＝ - ＞0 ；

x ₁ . x ₂ ＝ - ＞0 解得 ： a＜0

综上所述，当 a ＝ 0、 a≥ -4、a＜0 时，即当 -4≤a≤0 时 ， 原方程只有正实数根。

【小结】 以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。

1、 运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。

2、 运用根与系数关系时，△ ≥ 0 是前提条件。

3、 条件多面时（如例 5、例6）考虑要周全。

【布置作业】

1、 当 m为何值时，关于 x 的方程 x ² +2（m-1）x+ m ² -9 ＝0有两个正根？

2、 已知，关于 x 的方程 mx ² -2（m+2）x+ m+5 ＝ 0（ m≠0）没有 实数根。求证：关于 x 的方程

（ m-5）x ² -2（m+2）x + m ＝ 0一定有一个或两个实数根。

考题汇编

1、（2000年广东省中考题）设 x ₁ 、 x ₂ 是方程 x ² -5x+3 ＝0的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（ x ₁ -x ₂ ） ² 的值。

2、（2001年广东省中考题）已知关于 x 的方程 x ^2- 2x+m-1 ＝0

（ 1）若方程的一个根为1，求 m 的值。

（ 2） m ＝5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。

3、（2002年广东省中考题）已知关于 x 的方程 x ² +2（m-2）x+ m ² ＝0有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求 m 的值。

4、（2003年广东省中考题）已知 x ₁ 、x ₂ 为方程 x ² +px+q ＝0的两个根，且 x ₁ +x ₂ ＝6， x ₁ ² +x ₂ ² ＝20，求 p 和 q 的值。

课题： 一元二次方程实数根错例剖析课 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

【教学目的】 精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。

【课前练习】

1、关于 x 的方程 ax ² +bx+c=0， 当 a_____ 时，方程为一元一次方程；当 a_____时， 方程为一元二次方程。

2、一元二次方程 ax ² +bx+c=0(a≠0) 的根的判别式△=_______，当△_______时，方程有两个相等的实数根，当△_______时，方程有两个不相等的实数根，当△________时，方程没有实数根。

【典型例题】

例 1 下列方程中两实数根之和为2的方程是（）

(A) x ² +2x+3＝0 (B) x ² -2x+3＝0 (c) x ² -2x-3＝0 (D) x ² +2x+3＝0

错答： B

正解： C

错因剖析：由根与系数的关系得 x ₁ +x ₂ ＝2 ，极易误选 B， 又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程 B 无实数根，方程 C 合适。

例 2 若关于 x 的方程 x ² +2(k+2)x+k ² ＝0 两个实数根之和大于-4，则 k 的取值范围是（ ）

(A) k＞-1 (B) k＜0 (c) -1＜ k＜0 (D) -1≤k＜0

错解 ： B

正解： D

错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△ ≥ 0

例 3（2000广西中考题） 已知关于 x 的一元二次方程( 1-2k)x ² -2 <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> x-1＝0 有两个不相等的实根，求 k 的取值范围。

错解 : 由△＝(-2 ) ² -4(1-2k)(-1) ＝-4 k +8 ＞0得 k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1 。即 k 的取值范

围是 -1≤k＜2

错因剖析：漏掉了二次项系数 1-2k≠0 这个前提。事实上，当 1-2k＝0 即 k＝ 时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。

正解： -1≤k＜2 且 k≠

例4 （2002山东太原中考题） 已知 x ₁ ， x ₂ 是关于 x 的一元二次方程 x ² +(2m+1)x+m ² +1＝0 的两个实数根，当 x ₁ ² +x ₂ ² =15时， 求 m 的值。

错解：由根与系数的关系得

x ₁ +x ₂ ＝ -（2m+1）, x ₁ x ₂ ＝ m ² +1,

∵ x ₁ ² +x ₂ ² ＝ (x ₁ +x ₂ ) ² -2 x ₁ x ₂

＝ [-（2m+1）] ² -2（m ² +1）

＝ 2 m ² +4 m-1

又∵ x ₁ ² +x ₂ ² = 15

∴ 2 m ² +4 m-1 = 15

∴ m ₁ ＝ -4 m ₂ ＝ 2

错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥ 0。因为当 m ＝ -4 时，方程为 x ² -7x+17＝0， 此时△ ＝（-7） ² -4×17×1＝ -19＜0， 方程无实数根，不符合题意。

正解： m ＝ 2

例 5 若关于 x 的方程 (m ² -1)x ² -2 (m+2)x+1＝0 有实数根，求 m 的取值范围。

错解：△＝ [-2(m+2)] ² -4(m ² -1) ＝ 16 m+20

∵ △≥ 0

∴ 16 m+20 ≥ 0，

∴ m ≥ -5/4

又 ∵ m ² -1≠0，

∴ m≠±1

∴ m 的取值范围是 m≠±1 且 m ≥ -

错因剖析 ：此题只说 (m ² -1)x ² -2 (m+2)x+1＝0 是关于未知数 x 的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑 m ² -1＝0和m ² -1≠0两种情况。当 m ² -1＝0时， 即 m＝±1 时 ， 方程变为一元一次方程，仍有实数根。

正解： m 的取值范围是 m ≥ -

例 6 已知二次方程 x ² +3 x+a＝0 有整数根， a 是非负数，求方程的整数根。

错解：∵方程有整数根，

∴△ ＝ 9-4a＞0， 则 a＜2.25

又∵ a 是非负数，∴ a＝1 或 a＝2

令 a＝1， 则 x＝ -3± ， 舍去 ； 令 a＝2， 则 x ₁ ＝ -1、 x ₂ ＝ -2

∴方程的整数根是 x ₁ ＝ -1， x ₂ ＝ -2

错因剖析 ：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当 a＝0 时，还可以求出方程的另两个整数根， x ₃ ＝0， x ₄ ＝ -3

正解： 方程的整数根是 x ₁ ＝ -1， x ₂ ＝ -2 ， x ₃ ＝0， x ₄ ＝ -3

【练习】

练习 1、（01济南中考题）已知关于 x 的方程 k ² x ² +(2k-1)x+1=0 有两个不相等的实数根 x ₁ 、x ₂ 。 （1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请说明理由。

解：（ 1）根据题意，得△＝ (2k-1) ² -4 k ² ＞0 解得 k＜

∴当 k＜ 时，方程有两个不相等的实数根。

（ 2）存在。如果方程的两实数根 x ₁ 、x ₂ 互为相反数，则 x ₁ + x ₂ = - =0，

解得 k ＝ 。经检验 k ＝ 是方程- 的解。

∴当 k ＝ 时，方程的两实数根 x ₁ 、x ₂ 互为相反数。

读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。

解：上面解法错在如下两个方面：

（ 1）漏掉 k≠0， 正确答案为：当 k＜ 时且 k≠0 时，方程有两个不相等的实数根。

（ 2） k ＝ 。不满足△＞0，正确答案为：不存在实数 k， 使方程的两实数根互为相反数

练习 2（02广州市）当 a 取什么值时，关于未知数 x 的方程 ax ² +4x-1 ＝0只有正实数根 ?

解：（ 1）当 a ＝0时，方程为4 x-1 ＝0，∴ x ＝

（ 2）当 a≠0 时，∵△＝16+4 a≥0 ∴ a≥ -4

∴当 a≥ -4 且 a≠0 时，方程有实数根。

又因为方程只有正实数根，设为 x ₁ ，x ₂ ， 则：

x ₁ +x ₂ ＝ - ＞0 ；

x ₁ . x ₂ ＝ - ＞0 解得 ： a＜0

综上所述，当 a ＝ 0、 a≥ -4、a＜0 时，即当 -4≤a≤0 时 ， 原方程只有正实数根。

【小结】 以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。

1、 运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。

2、 运用根与系数关系时，△ ≥ 0 是前提条件。

3、 条件多面时（如例 5、例6）考虑要周全。

【布置作业】

1、 当 m为何值时，关于 x 的方程 x ² +2（m-1）x+ m ² -9 ＝0有两个正根？

2、 已知，关于 x 的方程 mx ² -2（m+2）x+ m+5 ＝ 0（ m≠0）没有 实数根。求证：关于 x 的方程

（ m-5）x ² -2（m+2）x + m ＝ 0一定有一个或两个实数根。

考题汇编

1、（2000年广东省中考题）设 x ₁ 、 x ₂ 是方程 x ² -5x+3 ＝0的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（ x ₁ -x ₂ ） ² 的值。

2、（2001年广东省中考题）已知关于 x 的方程 x ^2- 2x+m-1 ＝0

（ 1）若方程的一个根为1，求 m 的值。

（ 2） m ＝5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。

3、（2002年广东省中考题）已知关于 x 的方程 x ² +2（m-2）x+ m ² ＝0有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求 m 的值。

4、（2003年广东省中考题）已知 x ₁ 、x ₂ 为方程 x ² +px+q ＝0的两个根，且 x ₁ +x ₂ ＝6， x ₁ ² +x ₂ ² ＝20，求 p 和 q 的值。