目的： 以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：

一、复习：

1．不等式的一个等价命题

2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论

二、作差法：（P13—14）

1． 求证： x ² + 3 > 3 x

证：∵( x ² + 3) - 3 x = <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" /> <?XML:NAMESPACE PREFIX = O />

∴ x ² + 3 > 3 x

2． 已知 a , b , m 都是正数，并且 a < b ，求证：

证：

∵ a , b , m 都是正数，并且 a < b ，∴ b + m > 0 , b - a > 0

∴ 即：

变式：若 a > b ，结果会怎样？若没有“ a < b ”这个条件，应如何判断？

3． 已知 a , b 都是正数，并且 a ¹ b ，求证： a ⁵ + b ⁵ > a ² b ³ + a ³ b ²

证：( a ⁵ + b ⁵ ) - ( a ² b ³ + a ³ b ² ) = ( a ⁵ - a ³ b ² ) + ( b ⁵ - a ² b ³ )

= a ³ ( a ² - b ² ) - b ³ ( a ² - b ² ) = ( a ² - b ² ) ( a ³ - b ³ )

= ( a + b )( a - b ) ² ( a ² + ab + b ² )

∵ a , b 都是正数，∴ a + b , a ² + ab + b ² > 0

又∵ a ¹ b ，∴( a - b ) ² > 0   ∴( a + b )( a - b ) ² ( a ² + ab + b ² ) > 0

即： a ⁵ + b ⁵ > a ² b ³ + a ³ b ²

4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；有一半路程乙以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走，如果 m ¹ n ，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

解：设从出发地到指定地点的路程为 S ，

甲乙两人走完全程所需时间分别是 t ₁ , t ₂ ，

则： 可得：

∴

∵ S , m , n 都是正数，且 m ¹ n ，∴ t ₁ - t ₂ < 0   即： t ₁ < t ₂

从而：甲先到到达指定地点。

变式：若 m = n ，结果会怎样？

三、作商法

5． 设 a , b Î R ⁺ ，求证：

证：作商：

当 a = b 时，

当 a > b > 0时，

当 b > a > 0时，

∴ （其余部分布置作业）

作商法步骤与作差法同，不过最后是与 1 比较。

四、小结：作差、作商

五、作业： P15   练习

P18   习题6.3  1—4