§ 24.3 命题与证明

一、教学目标

( 一 ) 知识目标

1. 了解证明以及证明的必要性

2. 能将一些文字命题转化为数学问题，并进行证明

3. 掌握证明的步骤，证明过程中使用规范性语言

4. 能用举反例的方法证明或判断简单的假命题

( 二 ) 能力目标

1. 培养学生规范的数学解题能力

2. 培养学生分析问题、解决问题的能力

( 三 ) 情感目标

培养学生具有敢于质疑的意识，同时又有尊重客观事实的科学态度，培养学生勇于探索，创新，解疑的科学精神

二、教学重点

将文字命题转化为数学问题，并进行证明；证明过程中规范性语言的使用

三、教学难点

将文字命题转化为数学问题，如何正确写出“已知”、“求证”

四、教学方法

引导法，探究法

五、教学用具

多媒体 .

六、教学过程

( 一 ) 引入

一个同学在画图时发现，三角形的三条边上的高的交点在三角形的内部，于是他得出结论：任何一个三角形的三条边上的高的交点都在三角形的内部，他的结论正确吗？

( 二 ) 新课

由上面的事例说明：通过特殊的事例或实践活动得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，这样的结论需要进一步的证实 . 那么，怎样来证实呢？那就是证明

根据题设、定义、公理以及定理等、经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明

下面，我们通过证明命题“两直线平行，同旁内角互补”来了解什么是证明

例 1 证明：两直线平行，同旁内角互补

分析：首先弄清命题的题设和结论，其次将命题的题设“两条平行直线被第三条直线所截”转化为数学的符号语言“已知：直线 a ∥ b ，直线 c 分别与直线 a 、 b 相交于点 A 、 B ”，再把结论“同旁内角互补”转化为数学的符号语言“求证：∠ 1+ ∠ 2 = 180 °”，同时要画出图形

图 1

已知：如图 1 ，直线 a ∥ b ，直线 c 分别与直线 a 、 b 相交于点 A 、 B.

求证：∠ 1+ ∠ 2 = 180 °

证明：因为 a ∥ b( 已知 ) ，

所以 ∠ 1= ∠ 3( 两直线平行，同位角相等 ).

又因为 ∠ 3+ ∠ 2=180 ° ( 邻补角定义 ) ，

所以 ∠ 1+ ∠ 2=180 ° ( 等量代换 )

由例 1 可知以下两点

1 、文字命题的证明要求：写出“已知”、“求证”、“证明”，并画出图形

2 、证明的一般过程：由题设 ( 已知条件 ) 出发，经过一步步的逻辑推理，最后推出结论 ( 求证 ) 的正确过程 .

注意：证明过程的每一步推理都要有理有据，也就是根据定义、公理和定理

例 2 求证：等腰三角形两腰上的中线相等

引导学生画出符合条件的图形，再试写出“已知”、“求证”，并进行证明 . 分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明

思路，最后写出证明的过程；由题意分析，可以先证明含中线的某两个三角形全等，再证得中线相等

已知：如图 2 ，在△ ABC 中， AB = AC ，点 E 、 F 分别是 AC 、 AB 的中点 .

求证： BE = CF

证明：因为点 E 、 F 分别是 AC 、 AB 的中点 ( 已知 ) ，所以

AE = AC ， AF = AB( 中点定义 )

因为 AB = AC( 已知 ) ，

所以 AE = AF( 等量代换 )

在△ ABE 和△ ACF 中，因为

AB = AC( 已知 ) ，

∠ BAE = ∠ CAF( 公共角 ) ，

AE = AF( 已证 ) ，

所以 △ ABE ≌△ ACF(S.A.S.)

因此 AE = AF( 全等三角形的对应边相等 )

例 3 求证：有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形全等

分析：首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明思路，最后写出证明的过程

图 3

已知：如图 3 ，在△ ABC 和△ A’B’C’ 中，∠ ACB = ∠ A’C’B’ = 90 °， AC = A’C’ ， CD ⊥ AB 于 D ， C’D’ ⊥ A’B’ 于 D’ ，且 CD = C’D’

求证： Rt △ ABC ≌ Rt △ A’B’C’

分析： (1)Rt △ ABC 与 Rt △ A’B’C’ 中已满足全等的什么条件？ (AC = A’C’ ，∠ ACB = ∠ A’C’B’ = 90 ° )

(2) 还需补充什么条件两三角形全等？ (BC = B’C’ ，或 AB = A’B’ ，或∠ B = ∠ B’ ，或∠ A = ∠ A’)

(3) 选择哪个条件 ?( ∠ A = ∠ A’)

(4) 为什么？ ( 已有条件 AC = A’C’ ， CD = C’D’)

即先证明 Rt △ ACD ≌ Rt △ A’C’D’ ，再证明 Rt △ ABC ≌ Rt △ A’B’C’

请小组同学共同完成证明过程 ( 略 )

文字命题证明的一般过程：

首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明思路，最后由题设 ( 已知条件 ) 出发，经过一步步的逻辑推理，写出结论 ( 求证 ) 的正确证明过程

例 4 试说明“两个锐角的和等于直角”是假命题

分析：对假命题的证明，用举反例的方法证明

举反例：就是要证明或判断一个命题是假命题，只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子即可

解 设两个锐角都为 30 °，则两个锐角的和为 60 °，不等于 90 °，所以这个命题是假命题

( 三 ) 小结

1 、证明的一般步骤；

2 、用举反例的方法证明或判断简单的假命题