4．6两角和与差的正弦、余弦、正切（第一课时）

（一）教具准备

直尺、圆规、投影仪

（二）教学目标

1．掌握 公式的推导，并能用赋值法，求出公式 ．

2．应用公式 ，求三角函数值．

（三）教学过程

1．设置情境

上一单元我们学习了同一个角的三角函数的性质以及各三角函数之间的相互关系．本节开始讨论两个角的三角函数，已知任意角 的三角函数值，如何求出 ， 或 的三角函数值，这一节课我们将研究 、 ．

2．探索研究

（1）公式 、 推导．

请大家考虑，如果已知 、 ，怎样求出 ？

是否成立．

生：不成立， ， 等式就不成立．

师：很好，把 写成 是想应用乘法对加法的分配律，可是 是角 的余弦值，并不是“ ”乘以 ，不能应用分配律．

事实上如果 都是锐角，那么总有 ．

考虑两组数据

① ， 这时 ， 而

② ， 这时 ， 而

从这组数据我们发现不能由 、 直接得出 ．师：如果我们再算出 ， ，试试看能否找到什么关系．

生：① ， ， ， ，

而

② ， ， ， ，

而

由（1）、（2）可得出，

师：这位同学用具体的例子得到的一个关系式：

只有通过严格的理论证明才行．下面给出证明：为了证明它，首先给出两点间的距离，图1(也可以利用多媒体课件演示)．考虑坐标平面内的任意两点 ， 过点 分别作 轴的垂线 ， ，与 轴交于点 ， ；同理 ，

那么 ， ，由勾股定理 ，由此得到平面内 两点间的距离公式

师：（可以用课件演示）如右图2，在直角坐标系 内作单位圆 ，并作出角 、 与 请同学们把坐标系中 ， ， ， 各点的坐标用三角函数表示出来．

生： ， ， ，

师：线段 与 有什么关系？为什么？

生：因为△ ≌△ ，所以 ．

师：请同学们用两点间的距离公式把 表示出来并加以整理．

展开并整理，得

所以 （记为 ）

这个公式对任意的 ， 均成立，如果我们把公式中的 都换成 ，又会得到什么？

生：

即

（记为 ）

（2）例题分析

【例1】不查表，求 及 的值．

因为题目要求不查表，所以要想办法用特殊角计算，为此 化成 ， 化成 ，请同学们自己利用公式计算．

注：拆角方法并不惟一．事实上，如果求出 ，那么 ，再者， 也可写成 ，甚至 等均可以．

【例2】已知 ， ， ， ，求 的值．

分析：观察公式 要算 应先求出 ， ．

解：由 ， 得

又由 ， 得

【例3】 不查表，求下列各式的值：

（1） ；

（2） ；

（3） ．

解：（1）

（2）

（3）

【例4】  证明公式：

（1） ；（2）

证明：（1）利用 可得

∴

（2）因为上式中 为任意角，故可将 换成 ，就得

即

练习（投影、学生板演）

（1）

（2）已知 ， ，求

解答：

（1）逆用公式

（2）凑角：∵ ，∴ ，故

．

说明：请同学们很好体会一下，上述凑角的必然性和技巧性，并能主动尝试训练，以求熟练。

3．演练反馈

（1） 的值是（　）

A． B． C． D．

（2） 等于（　）

A．0　B． C． D．2

（3）已知锐角 满足 ， ，则 为（      ）

A． B． C． 或 D． ，

参考答案：（1）B； （2）B； （3）A．

4．总结提炼

（1）牢记公式“ ”结构，不符合条件的要能通过诱导公式进行变形，使之符合公式结构，即创造条件用公式．

（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系，如已知角 、 的值，求 ，应视 、 分别为已知角， 为未知角，并实现“ ”与“ ”及“ ”之间的沟通： ．

（3）利用特值代换证明 ， ，体会 的强大功能．

（四）板书设计

1．平面内两点间距离公式 2．两角和余弦公式及推导

例1 例2 例3

例4 练习反馈 总结提炼