教学目标
1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．
(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算．
(2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．
(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算．
2．通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．
3．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．
教学建议
教材分析
（1）本节的 教学重点 是分数指数幂的概念及其运算性质． 教学难点 是根式的概念和分数指数幂的概念．
（2）由于分数指数幂的概念是借助 次方根给出的，而 次根式， 次方根又是学生刚刚接触到的概念，也是比较陌生的．以此为基础去 学习 认识新知识自然是比较困难的．且 次方根，分数指数幂的定义都是用抽象字母和符号的形式给出的，学生在接受理解上也是比较困难的．基于以上原因，根式和分数指数幂的概念成为本节应突破的难点．
（3） 学习 本节主要目的是将指数从整数指数推广到有理数指数，为指数函数的研究作好准备．且有理指数幂具备的运算性质还可以推广到无理指数幂，也就是说在运算上已将指数范围推广到了实数范围，为对数运算的出现作好了准备，而使这些成为可能的就是分数指数幂的引入．
教法建议
（1）根式概念的引入是本节教学的关键．为了让学生感到根式的 学习 是很自然也很必要的，不妨在设计时可以考虑以下几点：
①先以具体数字为例，复习正整数幂，介绍各部分的名称及运算的本质是乘方，让它与学生熟悉的运算联系起来，树立起转化的观点．
②当复习负指数幂时，由于与乘除共同有关，所以出现了分式，这样为分数指数幂的运算与根式相关作好准备．
③在引入根式时可先由学生知道的平方根和立方根入手，再大胆写出
即谁的四次方根等于16．指出2和-2是它的四次方根后再把指数换成
，写成
即谁的
次方等于
，在语言描述的同时，也把
数学
的符号语言自然的给出．
（2）在 次方根的定义中并没有将 次方根符号化原因是结论的多样性，不能乱表示，所以需要先研究规律，再把它符号化．按这样的研究思路学生对 次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规律．
教学设计示例
课题 根式
教学目标 ：
1．理解 次方根和 次根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算．
2．通过对根式的 学习 ，使学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．
3．通过对根式的化简，使学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．
教学重点 难点：
重点是 次方根的概念及其取值规律．
难点是 次方根的概念及其运算根据的研究．
教学用具：投影仪
教学方法：启发探索式．
教学过程 ：
一. 复习引入
今天我们将 学习 新的一节指数．指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经 学习 过，今天只不过把它进一步向前发展．
下面从我们熟悉的指数的复习开始．能举一个具体的指数运算的例子吗?
以 为例，是指数运算要求学生指明各部分的名称，其中2称为底数，4为指数， 称为幂．
教师还可引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义． ．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出 及 ，同时追问这里 的由来．最后将三条放在一起，用投影仪打出整数指数幂的概念
2．5指数(板书)
1. 关于整数指数幂的复习
(1) 概念
既然是一种运算，除了定义之外，自然要给出它的运算规律，再来回顾一下关于整数指数幂的运算性质．可以找一个学生说出相应的运算性质，教师用投影仪依次打出：
(2) 运算性质： ; ; ．
复习后直接提出新课题，今天在此基础上把指数从整数范围推广到分数范围．在刚才的复习我们已经看到当指数在整数范围内时，运算最多也就是与分式有关，如果指数推广到分指数会与什么有关呢?应与根式有关．初中时虽然也学过一点根式，但不够用，因此有必要先从根式说起．
2. 根式(板书)
我们知道根式来源于开方，开方是乘方的逆运算，所以谈根式还是先从大家熟悉的乘方说起．
如
如果给出了4和2进行运算，那就是乘方运算．如果是知道了16和2，求4即 ，求?
问题也就是： 谁的平方是16 ，大家都能回答是4和-4，这就是开方运算，且4和-4 有个名字叫16的平方根．
再如
知3和8，问题就是谁的立方是8?这就是开方运算，大家也知道结果为2，同时指出2叫做8的立方根．
(根据情况教师可再适当举几个例子，如 ，要求学生用语言描述式子的含义，I再说出结果分别为 和-2，同时指出它们分别称为9的四次方根和-8的立方根)
在以上几个式子会解释的基础上，提出 即一个数的 次方等于 ，求这个数，即开 次方，那么这个数叫做 的 次方根．
(1) 次方根的定义：如果一个数的 次方等于 ( ，那么这个数叫做 的 次方根．
(板书)
对定义理解的第一步就是能把上述语言用 数学 符号表示，请同学们试试看．
由学生翻译为：若 ( ，则 叫做 的 次方根．(把它补在定义的后面)
翻译后教师在此基础上再次提出翻译的不够彻底，如结论中的 的 次方根就没有用符号表示，原因是什么?(如果学生不知从何入手，可引导学生回到刚才的几个例子，在符号表示上存在的问题，并一起研究解决的办法)最终把问题引向对 的 次方根的取值规律的研究．
(2) 的 次方根的取值规律： (板书)
先让学生看到 的 次方根的个数是由 的奇偶性决定的，所以应对 分奇偶情况讨论
当 为奇数时，再问学生 的 次方根是个什么样的数，与谁有关，再提出对 的正负的讨论，从而明确分类讨论的标准，按 的正负分为三种情况．
Ⅰ当 为奇数时
， 的 次方根为一个正数;
， 的 次方根为一个负数;
， 的 次方根为零． (板书)
当奇数情况讨论完之后，再用几个具体例子辅助说明 为偶数时的结论，再由学生总结归纳
Ⅱ当 为偶数时
， 的 次方根为两个互为相反数的数;
， 的 次方根不存在;
， 的 次方根为零．
对于这个规律的总结，还可以先看 的正负，再分 的奇偶，换个角度加深理解．
有了这个规律之后，就可以用准确的 数学 符号去描述 次方根了．
(3) 的 次方根的符号表示 (板书)
可由学生试说一说，若学生说不好，教师可与学生一起总结，当 为奇数时，由于无论 为何值， 次方根都只有一个值，可用统一的符号 表示，此时要求学生解释符号的含义： 为正数，则 为一个确定的正数， 为负数， 则 为一个确定的负数， 为零，则 为零．
当 为偶数时， 为正数时，有两个值，而 只能表示其中一个且应表示是正的，另一个应与它互为相反数，故只需在前面放一个负号，写成 ，其含义为 为偶数时，正数的 次方根有两个分别为 和 ．
为了加深对符号的认识，还可以提出这样的问题： 一定表示一个正数吗? 中的 一定是正数或非负数吗?让学生来回答，在回答中进一步认清符号的含义，再从另一个角度进行总结 ．对于符号 ，当 为偶数是，它有意义的条件是 ;当 为奇数时，它有意义的条件时 ．
把 称为根式，其中 为根指数， 叫做被开方数．(板书)
(4) 根式运算的依据 (板书)
由于 是个数值，数值自然要进行运算，运算就要有根据，因此下面有必要进一步研究根式运算的依据．但我们并不过分展开，只研究一些最基本的最简单的依据．
如 应该得什么?有学生讲出理由，根据 次方根的定义，可得Ⅰ = ．(板书)
再问： 应该得什么?也得 吗?
若学生想不清楚，可用具体例子提示学生，如 吗? 吗?让学生能发现结果与 有关，从而得到Ⅱ = ．(板书)
为进一步熟悉这个运算依据，下面通过练习来体会一下．
三．巩固练习
例1. 求值
(1) ． (2) ．
(3) ． (4) ．
(5) ．(
要求学生口答，并说出简要步骤．
四．小结
1． 次方根与 次根式的概念
2．二者的区别
3．运算依据
五．作业 略
六． 板书设计
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2．5指数 (2)取值规律 (4)运算依据 1. 复习 2. 根式 (3)符号表示 例1 (1)定义 |