第三节　串、并联电路中的电阻关系

教学目标

一、知识与技能

1. 了解运用欧姆定律和电路特点推导串、并联电路中电阻关系的过程。

2. 知道串、并联电路中电阻的关系。

3. 会用串、并联电路中电阻的关系进行简单计算。

二、过程和方法

1. 通过实验现象体会等效电阻的含义，了解等效的研究方法。

2. 通过推导串、并联电路电阻关系的过程学习用理论推导得出物理规律的方法。

3. 学习用不同小角标表示同类物理量的方法。

三、情感、态度和价值观

1. 通过应用欧姆定律和串、并联电路特点推导串、并联电路中电阻的关系，体验物理规律在解决实际问题中的意义。

2. 通过推导过程使学生树立用已有规律发现新规律的意识。

教学重点：串、并联电路中的电阻关系。

教学难点：串、并联电路中的电阻关系。

教学过程

引入新课

通过实验引入，要注意实验的准确性和可见性。引导学生注意更换电阻后电流表的示数是否发生了变化，而不必观察电流表的具体示数，从此引入等效电阻的概念。

二、新课学习

（一）串联电路的等效电阻

1. 串联电路的等效电阻

假设有一个电阻可以代替串联的电阻而不影响电路的效果，我们就称这个电阻是串联电路的等效电阻。等效电阻与串联各个电阻的关系可以利用欧姆定律求得。

说明：（ 1 ）不影响电路的效果是指在电源电压不变时，其输出的电流也不变。

（ 2 ）等效电阻也叫总电阻。

2. 串联电路中的电阻关系

在图甲中，两个串联导体的电阻值分别为 R ₁ 和 R ₂ ，设等效电阻的电阻值为 R 。 R ₁ 、 R ₂ 两端的电压分别为 U ₁ 和 U ₂ ，串联部分两端的电压为 U 。通过 R ₁ 、 R ₂ 的电流分别为 I ₁ 、 I ₂ 。由欧姆定律可知， U=IR ， U ₁ =I ₁ R ₁ ， U ₂ =I ₂ R ₂ 。

从串联电路总电压与分段电压的关系： U=U ₁ +U ₂ ，得 IR=I ₁ R ₁ +I ₂ R ₂ 。

因串联电路中的电流处处相等，即 I=I ₁ =I ₂ ，所以 R=R ₁ +R ₂ 。

对于多个电阻（ R ₁ 、 R ₂ 、 R ₃ …… R _n ）串联，同样可以得到 R=R ₁ +R ₂ +R ₃ + … +R _n 。

这表明，串联电路的等效电阻等于各串联导体的电阻之 和 。

注意

（ 1 ）把几个导体串联起来，相当于增加了导体的长度，其总电阻一定比任何一个导体的电阻大。

（ 2 ）由 R=R ₁ +R ₂ + … +R _n 可推出， n 个 阻值均为 R ₀ 的电阻串联，其总电阻为 R=nR ₀ 。

（ 3 ）根据欧姆定律和串联电路的电流特点。不难推出 ，这说明：串联电路中，电压的分配与电阻成正比。

例题 一个阻值为 3 Ω的电阻 R ₁ 和一个阻值为 2 Ω的电阻 R ₂ 串联后，接在 6V 的电源上。问电路中的电流多大？

分析：画出电路图，要想求出电路中的电流 I ，只要知道总电压 U 和总电阻 R 就可以了。 U 已知， R 可用串联电路的总电阻公式求出。

解 因为： R=R ₁ +R ₂ =3 Ω +2 Ω =5 Ω

所以： I= = = 1.2A

答案：电路中的电流为 1.2A 。

（二）并联电路的等效电阻

1. 并联电路的等效电阻

假设有一个电阻可以代替并联的电阻而又不影响电路的效果，我们就称这电阻是并联电路的等效电阻。等效电阻与并联各个电阻的关系可以利用欧姆定律求得。

说明

（ 1 ）不影响电路的效果是指在电源电压不变时，其输出的电流也不变。

（ 2 ）等效电阻也叫总电阻。

2. 并联电路中的电阻关系

推导： 设各支路 的电阻分别为 R ₁ 和 R ₂ ，并联电路的等效电阻为 R 。通过 R ₁ 和 R ₂ 的电流分别为 I ₁ 和 I ₂ ，并联电路的总电流为 I （如图）。那么，由欧姆定律可知：

I ₁ = ， I ₂ = ，而 I= 。

又因为并联电路的总电流等于各支路的电流之和，即 I=I ₁ +I ₂ 。

所以 = +

约去 U 得： = +

对于多个电阻（ R ₁ 、 R ₂ 、 R ₃ 、 …… 、 R _n ）并联，同理可以得到：

= + + …… +

这表明并联电路的等效电阻的倒数，等于各并联导体的电阻的倒数之 和 。

说明

（ 1 ）把 n 个 导体并联起来，相当于增加了导体的横截面积，其总电阻比每一个导体电阻都要小。

（ 2 ）由 = + ，可推导出 R= 。

（ 3 ）由 = + + …… + 可推出， n 个 阻值均为 R ₀ 的电阻并联，其总电阻为 R= 。

（ 4 ）根据欧姆定律和并联电路的电压特点，可推导出 ，这说明：并联电路中，电流的分配与电阻成反比。

例题 有一只弧光灯，正常工作电流为 5A ，电阻力 8 Ω，要把它接入电压为 110V 的电路中，需要串联一个多大的电阻，弧光灯才能正常工作？

分析：先根据题意画电路图，并标出已知量和未知量的符号，如图 12-3-5 所示。为了防止差错，习惯上在物理量代表符号的右下角 加角标 ，分别表示与各导体的对应量，如电阻 R ₁ 的电压、电流分别为 U ₁ 、 I ₁ ，电阻 R ₂ 的电压、电流分别为 U ₂ 、 I ₂ ，总电阻、总电压、总电流分别为 R 、 U 、 I 。并且这九个量中一般知道三个量就可以求出另外六个量。此题根据题目所给条件，欲求电阻 R ₂ ，可从欧姆定律的变形出发，先求出 R ₁ 两端的电压 U ₁ ，再根据串联电路的关系，求出电阻 R ₂ 两端的电压 U ₂ ，最后利用欧姆定律变形公式求出 R­ ₂ ；也可以从串联电路总电阻出发，先求出整个电路中的总电阻 R ，然后利用串联电路特点求出 R ₂ ；也可以根据串联电路分压关系求出 R ₂ 。

解法 1 ：根据欧姆定律： U ₁ =IR ₁ = 5A × 8 Ω =40V

∵ R ₁ 与 R ₂ 是串联在电路中

∴ U ₂ =U-U ₁ =110V-40V=70V

又根据欧姆定律可求出需要串联的电阻 R ₂ 为：

R ₂ =U ₂ /I=70V/ 5A=14 Ω

解法 2 ：根据欧姆定律 I=U/R 得： R= = =22 Ω

∵ R ₁ 与 R ₂ 串联在电路中

∴ R ₂ =R-R ₁ =22 Ω -8 Ω =14 Ω

解法 3 ：根据欧姆定律 I= 得： U ₁ =IR ₁ = 5A × 8 Ω =40V

∵ R ₁ 与 R ₂ 是串联在电路中

∴ U ₂ =U-U ₁ =110V-40V=70V

根据串联电路分压关系式： 得： R ₂ = × R ₁ = × 8 Ω =14 Ω

答案：需要串联一个 14 Ω的电阻，弧光灯才能正常工作。

三、课后小结

1. 知识小结

2. 方法规律总结

怎样进行简单电路的计算？串、并联电路属于简单的电路，在解题中要注意以下几点：

（ 1 ）先根据题意画电路图，并在电路图上标明已知量的符号、数值和未知量的符号，便于分析。

（ 2 ）利用电路的符号和欧姆定律解题时，特别要重视“对应”关系。也就是说，运用欧姆定律应是“同一导体”，并且“同一时间”上的 U 、 R 和 I 。

（ 3 ）如果题目给出的是两个物理过程，要注意分析两个过程之间的联系（如电路的总电压不变）。必要时可分别画出两个过程的电路图，分步加以解决。